Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития обучающихся, глубины освоения учебного материала. Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он в основном состоит из теоретического обоснования способов решения различных видов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время.
За время обучения в школе каждый ребенок решает огромное количество задач. При этом все учащиеся решают одни и те же задачи, а в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.
В чем причина?
Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа. У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство, если они не знают, в чем смысл доказательства? Многие учащиеся не знают, в чем смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить проверку решения и т. д. Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач. Наблюдения показывают, что многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А поэтому, встретившись с задачей незнакомого или мало знакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и после нескольких неудачных попыток отказываются от этого, как они считают, безнадежного дела.
Для того чтобы научиться решать задачи, необходимо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение — как объект конструирования и изобретения.
Д.А. Пойа отмечает: «Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели. Решение задачи означает нахождение этого средства».
Процесс решения любой математической задачи может быть исследован с различных точек зрения:
- с математической – какова последовательность действий и как их надо совершить над данными задачи, чтобы найти искомое;
- с логической – устанавливается, из каких логических операций состоит процесс решения;
- с психологической – в чем состоят психологические особенности процесса решения задачи;
- с педагогической – определяются приемы, которые помогут ученику самостоятельно найти решение;
- с информационной – устанавливается возможность решения задачи с помощью компьютера.
Этапы работы над решением задачи
В процессе решения задачи целесообразно выделить четыре основных этапа:
Этап I. Анализ текста задачи.
Цель этапа:
- выделить объективное содержание задачи;
- выделить условие и заключение задачи;
- создать краткую запись задачи на искусственном языке, используя схемы, чертежа и т.д.
Как было указано выше, восприятие текста задачи зависит от субъективных факторов и личностного опыта, а также осложняется многозначностью языковых единиц. В ходе работы с текстом задачи, педагог должен помнить, что на основании этого текста существует три задачи:
- «задача», задуманная автором;
- «задача», которую воспринял ученик;
- «задача», которую воспринял учитель.
Трудность заключается в том, что не всегда эти «задачи» совпадают. В таком случае процесс решения задачи начинается с корректировки субъективного опыта, с приведения разных восприятий задачи к «общему знаменателю». Корректировка осуществляется посредством обучения языку математики. Чем младше ребёнок, тем выше субъективность его восприятия математического материала, поэтому на начальных этапах особенно важна работа с текстом задачи.
При реализации этого этапа важен самый первый момент — первоначальное чтение текста задачи, который часто недооценивается в школьной практике. Нередко ребенок не успевает даже прочесть текст, не то что осмыслить его, как учитель уже вызывает ученика к доске для решения задачи. Нужно отметить, что поспешный переход сразу по получении информации к ее преобразованию без предварительного анализа обедняет процесс познания. А вместе с тем внимательное предварительное прочтение текста, представление учеником ситуации, описанной в задаче, позволяет сделать много полезных выводов и предположений относительно подходов к ее решению. На данном этапе учат извлекать из текста информацию, определяющую решение задачи. Устанавливают, достаточно ли этой ин- формации для решения, устраняют лишнюю информацию. Если этого требует сюжет задачи, то определяют реальность информации. Пре образуют текст задачи (либо по заданной схеме, либо для упрощения восприятия текста), оставляя только математически значимую информацию.
Приемы осуществления анализа текста задачи
Обычно на этом этапе формируются два основных действия — чтение задачи и повторение текста задачи. При повторении текста задачи используют следующие приемы:
- абстрагирование числа от сюжета задачи;
- повторение задачи по логическим частям (этот прием используется на начальном этапе работы с задачей либо при повторении задачи с незнакомым сюжетом);
- повторение по структурным частям задачи;
- повторение полного текста задачи.
В зависимости от особенностей задачи, проводят математический, логический и семантический анализы текста задачи, используя следующие приемы:
- преобразование текста задачи, которое предполагает исключение из текста той части, которая не влияет на результат решения, либо дополнение текста задачи недостающими данными;
- изменение порядка слов или предложений;
- замена некоторых слов синонимами;
- замена содержательного описания термином или наоборот;
- дополнение текста пояснением; уточнение единиц измерения величин и др.
Текстовая модель задачи часто включает несущественную для решения информацию. Чтобы можно было работать только с существенными смысловыми единицами, текст задачи переводят на язык графических моделей, т.е. представляют текст с помощью невербальных средств — моделей различного вида: чертежа, схемы, графика, таблицы, символического рисунка и др.
Перевод текста на язык математики с помощью невербальных средств есть второй компонент общего приема решения задач и второй этап работы над задачей. Реализация этого этапа (второго компонента) предполагает выбор знаково-символических средств для построения графической модели, адекватной математическому содержанию задачи. Модель задачи, построенная по определенным правилам, есть аналог задачи, в котором более четко отражена структура связей и отношений между объектами либо величинами, описанными в сюжете задачи.
Перевод текста в форму графической модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто с трудом выявляются при чтении. Рассмотрим примеры.
Задача 1.
Саша и Маша решили купить по одинаковому набору ёлочных украшений. Саше не хватило 1руб., а Маше 6 руб. Тогда ребята решили сложить вместе свои деньги и купить один набор игрушек на двоих, но им всё равно не хватило денег. Сколько денег было у каждого из ребят первоначально? Сколько стоил набор ёлочных украшений?
Данная задача во введении требует работы с текстом. Нужно обратить внимание на словосочетание «сколько-то денег не хватает», которое означает необходимость добавить денег, но не предполагает наличие денег само по себе, как зачастую кажется решающим.
Рассмотрим этап анализа текста задачи.
Задача 2.
Два грузовых автомобиля одновременно выезжают из пунктов А и Б навстречу друг другу.. После встречи автомобиль, выехавший из пункта А пребывает в пункт В через два часа, а автомобиль, выехавший из пункта В пребывает в пункт А через 9/8 часа. Найдите скорость автомобилей, если расстояние между пунктами 210 км?
Данная задача на равномерное движение двух объектов, которое осуществляется навстречу друг другу. Структура текста задачи: У – Т – У (условие – требование – условие). Объекты – два автомобиля, выехавшие навстречу друг другу из пунктов А и В. Они начали движение одновременно и двигались до встречи одинаковое время. В условии не сказано, что изменялись скорости, следовательно, их движение на протяжение всего пути осуществлялось с постоянной скоростью. Первый автомобиль потратил на оставшуюся часть пути 2 часа. Это путь, который проделал второй автомобиль до встречи. Второй автомобиль потратил на оставшуюся часть пути 9/8 часа. Это путь, который проделал первый автомобиль до встречи. Путь, пройденный каждым автомобилем составляет 210 км.
На основании выделенных в условии задачи данных можно сделать краткую запись условия и чертеж.
Также в результате собственно анализа текста можно получить и ответ задачи, если речь идёт о несуществовании объекта.
Этап II. Поиск решения задачи.
Цель этапа – составить план решения задачи, который может быть представлен устно или письменно, в виде текста, модели или поисковой схемы.
После того как текст задачи лаконично представлен в виде графической модели, следует перейти к анализу отношений и связей между известными значениями, а также между известными и неизвестными значениями величин. Для этого проводится детальный анализ этих отношений. Результат этого анализа позволяет выстроить план решения задачи.
Поиск плана решения задачи может быть реализован двумя путями:
- синтетическим;
- аналитическим.
Синтетический путь представляет путь от условия к заключению Основной вопрос: есть это, что из этого следует?
Примерные вопросы прямого анализа задачи:
- Прочитайте вопрос задачи. Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
- Охарактеризуйте задачу по составу. Какая она?
- Выделите первую простую задачу.
- Каким действием решается эта задача? Почему?
- Запишите решение первой простой задачи.
- Ответили ли мы на вопрос исходной задачи?
- Выделите вторую простую задачу.
- Каким действием будем решать эту задачу? Почему?
- Запишите решение задач.
- Скажите ответ второй простой задачи.
- Ответили ли мы на вопрос исходной задачи?
- Скажите, по какому плану решается исходная задача.
Аналитический путь представляет путь от заключения к условию. Основной вопрос: что нужно знать/доказать/найти, чтобы получить это?
Примерные вопросы обратного анализа задачи:
- Прочитайте вопрос задачи.
- Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?
- Каких два (три…) значения надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
- Какое значение нам уже известно?
- Что неизвестно?
- Какие из этих значений мы знаем?
- Расскажите план решения задачи.
В педагогической практике чаще всего используется смешанный аналитико-синтетический путь: от заключения, но с учётом того, что имеется в условии.
Примерные вопросы смешанного анализа задачи:
- Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? Почему?
- А можем ли узнать, сколько ….? Почему?
- Расскажите план решения задачи.
Под поиском решения задачи Л.Л. Гурова понимает отыскание принципа построения логики решения в соответствии с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет.
Каждый анализ задачи завершается составлением плана решения задачи, после чего записывается само решение, что, собственно, и является следующим этапом работы над задачей.