Обычно проблема решается запросом в службу поддержки. Хостинги современных провайдеров переманивают клиентов на свои сервера, предоставив услугу бесплатного переноса. Бесплатный перенос предоставляется при оплате хостинга хотя бы на месяц.
На Beget нужно дать запрос в поддержку и отправить доступы от старого хостинга и FTP соединения, либо от панели администрирования.

Если стандартная форма заявки на перенос сложная для заполнения, то создавайте простой тикет в поддержку.
При отсутствии услуги, в случае переноса на бесплатный аккаунт, нужно определиться как будет производится процесс:
- Ресурс переноситься на новый домен
- Адрес прежний, только на новом хостинге
- Копирование и загрузка баз данных
- Копирование и загрузка файлов WordPress
- Синхронизация DB и WP в wp-config
Подготовка и опасности
Выделил три опасности:
- Если вы новичок, то прошу не проделывайте процедуру
- Решили осуществлять перенос самостоятельно, то для начала отключите все плагины, особенно кэширования, которые активны в админке
- Процесс сложный, поэтому читайте подробно и делайте по шагам
Переносим сайт на другой хостинг с новым доменом
Для эксперимента перенесу WordPress на другой домен и хостинг между своими тестовыми сайтами, расположенных на разных реальных хостингах, перенос сайта wordpress возьму свой пробный блог kraski-sovet.ru расположенный на Eternalhost с панелью ISPmamager и перенесу на top.burn-photo.ru который на Beget.
Создание баз и перенос файлов
Чтобы полностью перенести сайт заходим в раздел MySQL.

Создаем базу данных, вводим имя и пароль.

На бегете удобно, что имя базы и пользователя всегда совпадают, а сервер всегда localhost. Запишем данные, которые вводили на скриншоте.
- Имя базы valent5k_8456
- Имя пользователя так же valent5k_8456
- Пароль от базы SKwovFrr
- Сервер localhost
- Этого достаточно жмем на Добавить.
Создаем папку под сайт на хостинге на который будем переносить, то есть на Бегете. Заходим в раздел сайты.

Создаем новую директорию.

Это название появится снизу в списке, находим значок цепочки, выбираем домен, который присоединяем к папке и нажимаем добавить.

В результате получается, что папка на хостинге присоединилась к домену, это показано в самом списке.

Дальнейшие действия рассмотрю на примере стандартной панели ISP на хостинге Eternalhost. Сначала заходим в раздел Базы данных, выбираем соответствующую сайту и нажимаем Скачать, произойдёт загрузка файла в Формате SQL.

Либо выбираем название базы, и на ссылку перейти.
В открывшемся окне находим кнопку экспорт, выставляем быстрый режим, и нажимаем Вперед.

Произойдет загрузка на жесткий диск компьютера. Далее скачиваем файлы WordPress, переходим в менеджер и ищем папку с названием сайта, по умолчанию она находится в директории www, а в ней уже все каталоги с названиями сайтов.